分析 由题意画出图形,写出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$的数量积,由∠AOC为定值可得当$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OC}|$时,$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$有最大值,由此求得答案.
解答 解:由题意可知,BC=5,cos∠ABC=$\frac{4}{5}$,
则cos$∠AOC=\frac{4}{5}$,
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=$|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|•cos∠AOC$=$\frac{4}{5}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|$.
取AC的中点D,连接OD,则当OD⊥AC时$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$有最大值.
sin∠AOD=$\sqrt{\frac{1-cos∠AOC}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$.
∴$|\overrightarrow{OA}|=\frac{\frac{AC}{2}}{sin∠AOD}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{2}$.
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$的最大值是$\frac{4}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{2}×\frac{3\sqrt{10}}{2}=18$.
故答案为:18.
点评 本题考查平面向量的数量积运算,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 3 | B. | 3$\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{2}$ | D. | 2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | α | B. | α-$\frac{π}{2}$ | C. | α+$\frac{π}{2}$ | D. | α+$\frac{3π}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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