Question

已知命题p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0对?x∈R恒成立；命题q：函数y=-（4-2a）^x是R上的减函数．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围是

[

3

2

，2）∪（-∞，-2]

．

Answer 1

分析：由关于x的不等式x²+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立可得△=4a²-16＜0可得P；由函数f（x）=-（4-2a）^x是减函数可得4-2a＞1可得q，若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则p，q中一个为真，一个为假，分情况求解a的取值范围．

解答：解析：先简化命题p、q，构建关于a的关系式．
由x²+2ax+4＞0对?x∈R恒成立，得
T△=（2a）²-4×4＜0，解得-2＜a＜2．
所以p：-2＜a＜2．
由y=-（4-2a）^x是R上的减函数，
得4-2a＞1，解得a＜

3

2

．
所以q：a＜

3

2

．
由“p∨q”为真，“p∧q”为假知，p与q中必有一真一假，即p真q假或p假q真．
所以

-2＜a＜2 a≥ 3 2

或

a≤-2或a≥2 a＜ 3 2

从而得

3

2

≤a＜2或a≤-2．
故答案为：[

3

2

，2）∪（-∞，-2]．

点评：本题主要考查了p或q复合命题的真假的应用，解题的关键是利用二次函数的性质及指数函数的单调性准确求出命题p，q为真时a的范围．