Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱AA₁，BB₁的中点，求异面直线A₁F与D₁E所成角的余弦值．

Answer 1

证明：连接A₁C₁、C₁F、EF，
∵正方形AA₁B₁B中，E，F分别是棱AA₁，BB₁的中点，
∴A₁B₁∥EF且A₁B₁=EF
∵A₁B₁∥C₁D₁且A₁B₁=C₁D₁，
∴EF∥C₁D₁且EF=C₁D₁，可得四边形C₁D₁FE是平行四边形
因此，D₁E∥C₁F，
∴∠A₁FC₁（或其补角）就是异面直线A₁F与D₁E所成角
设正方体棱长为2，则△A₁FC₁中，A₁F=C₁F=

5

，A₁C₁=2

2

由余弦之理，得cos∠A₁FC₁=

5+5-8

2× 5 × 5

=

1

5

＞0
∴∠A₁FC₁是锐角，可得异面直线A₁F与D₁E所成角的余弦值为

1

5

．