Question

已知a为正实数，函数（e为自然对数的底数）．
（1）若f（0）＞f（1），求a的取值范围；
（2）当a=2时，解不等式f（x）＜1；
（3）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（1）∵f（0）＞f（1），∴
∵a＞0，∴a（e-1）＜e+1
∵e-1＞0，∴
∵a＞0，∴；
（2）当a=2时，，定义域为{x|x≠-2}
∵
∴f（x）在（-∞，-2）及（-2，+∞）上均为减函数
∵x∈（-∞，-2），f（x）＜0，∴x∈（-∞，-2）时，f（x）＜1；x∈（-2，+∞）时，f（0）=1，∴由f（x）＜f（0）得x＞0
综上，不等式的解集为（-∞，-2）∪（0，+∞）；
（3）当x≠-a时，
令f′（x）=0，可得x²=a²-2a
①a=2时，由（2）知，函数的单调减区间为（-∞，-2），（-2，+∞）；
②0＜a＜2时，a²-2a＜0，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调减区间为（-∞，-a），（-a，+∞）；
③a＞2时，a²-2a＞0
令f′（x）＞0，得x²＜a²-2a，∴；
令f′（x）＜0，得x²＞a²-2a，∴或
∴函数的单调增区间为，单调减区间为（-∞，-a），（-a，），（，+∞）．
分析：（1）根据f（0）＞f（1），可得，利用a＞0，可求a的取值范围；
（2）确定f（x）在（-∞，-2）及（-2，+∞）上均为减函数，从而可解不等式；
（3）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可得到函数的单调区间．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．