有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?
(1)甲不在中间也不在两端;
(2)甲、乙两人必须排在两端;
(3)男、女生分别排在一起;
(4)男女相间;
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.
分析:(1)这是一个排列问题,一般情况下,我们会从受到限制的特殊元素开始考虑,先排甲有6种,剩下的8个元素全排列有A88种,根据分步计数原理得到结果.
(2)先排甲、乙,再排其余7人,再根据分步计数原理得到结果.
(3)把男生和女生分别看成一个元素,两个元素进行排列,男生和女生内部还有一个全排列,
(4)先排4名男生有A44种方法,再将5名女生插在男生形成的5个空上有A55种方法,根据分步计数原理得到结果.
(5)9人共有A99种排法,其中甲、乙、丙三人有A33种排法,因而在A99种排法中每A33种对应一种符合条件的排法,类似于平均分组.
解答:解:(1)先排甲有6种,
其余有A
88种,
∴共有6•A
88=241920种排法.
(2)先排甲、乙,再排其余7人,
共有A
22•A
77=10080种排法.
(3)把男生和女生分别看成一个元素,
男生和女生内部还有一个全排列,
A
22•A
44•A
55=5760种.
(4)先排4名男生有A
44种方法,
再将5名女生插在男生形成的5个空上有A
55种方法,
故共有A
44•A
55=2880种排法.
(5)9人共有A
99种排法,
其中甲、乙、丙三人有A
33种排法,
因而在A
99种排法中每A
33种对应一种符合条件的排法,
故共有
=60480种排法.
点评:本题集排列多种类型于一题,充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路.