Question

7．某植物园要建形状为直角梯形的苗圃（如图所示），两条邻边借用夹角为135°的两面墙，另两条边的总长为60m，设垂直于底边的腰长为x（m）．
（1）求苗圃面积S关于边长x的函数解析式S（x）并指出该函数的定义域；
（2）当x为何值时，面积S最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）先过点D作DE⊥BC于E，则四边形ADBE为矩形，得出DE=AB=x，再证明△DEC是等腰直角三角形，得出EC=60-x，BC=60-2x，然后根据梯形的面积公式即可求出S与x之间的函数关系式；根据AB＞0，AD＞0，即可求出自变量x的取值范围；
（2）由（1）可知S是x的二次函数，根据二次函数的性质直接求解．

解答 解：（1）过点D作DE⊥BC于E，则四边形ADBE为矩形，DE=AB=x，∠ADE=∠DEB=90°，
则∠CDE=∠ADC-∠ADE=45°，
在直角△CDE中，
又∵∠DEC=90°，
∴∠C=45°，
∴CE=DE=x，
∵BC=60-AB=60-x，
∴BE=BC-CE=60-2x，
∴AD=BE=60-2x，
∴梯形ABCD面积S=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AB=$\frac{1}{2}$（60-2x+60-x）•x=-$\frac{3}{2}$x²+60x，
∵$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{60-2x＞0}\end{array}\right.$，
∴0＜x＜30．
故梯形ABCD面积S与x之间的函数关系式为S=-$\frac{3}{2}$x²+60x（0＜x＜30）；
（2）∵S=-$\frac{3}{2}$x²+60x=-$\frac{3}{2}$（x-20）²+600
∵0＜x＜30，
∴x=20m时，S有最大值600m²．

点评 本题考查了直角梯形的性质及二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是找到两个变量S与x之间的函数关系．