Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=[f（x）-k]x在（-∞，+∞）上是单调减函数，那么：
①求k的取值范围；
②是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求求f（x）的解析式，先利用f（x）的解析式求得f（x+1）的解析式，结合f（x+1）为偶函数列出等式，再根据函数f（x）的图象与直线y=x相切，将直线的方程代入二次函数的解析式，利用根的唯一性的条件列出另一个方程．从而求出a，b．问题解决．
（2）①先求函数g（x）的导函数，利用：“函数g（x）=[f（x）-k]x在（-∞，+∞）上是单调减函数”得其导数恒小于等于0，最后结合二次函数的根的判别式即可求k的取值范围；
②对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在区间[m，n]（m＜n），再利用二次函数的单调性，求出m，n的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）∵f（x+1）为偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），
即a（-x+1）²+b（-x+1）=a（x+1）²+b（x+1）恒成立，
即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f（x）=ax²-2ax
∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，
∴二次方程ax²-（2a+1）x=0有两相等实数根，
∴△=（2a+1）²-4a×0=0
∴a=-

1

2

，f(x)=-

1

2

x2+x（4分）

（2）①g(x)=-

1

2

x3+x2-kx，g′(x)=-

3

2

x2+2x-k
∵g（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数
∴g′（x）≤0在（-∞，+∞）上恒成立．
∴△=4-4(-

3

2

)(-k)≤0，得k≥

2

3

故k的取值范围为[

2

3

，+∞)（7分）
②∵f(x)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，
∴[km，kn]⊆(-∞，

1

2

]，
∴kn≤

1

2

，又k≥

2

3

，
∴n≤

1

2k

≤

3

4

，
∴[m，n]⊆（-∞，1]，
∴f（x）在[m，n]上是单调递增函数（9分）
∴

f(m)=km f(n)=kn

即

- 1 2 m2+m=km - 1 2 n2+n=kn

即

m=0，或m=2-2k n=0，或n=2-2k

（11分）
∵m＜n故当

2

3

≤k＜1时，[m，n]=[0，2-2k]；
当k＞1时，[m，n]=[2-2k，0]；当k=1时，[m，n]不存在． （13分）

点评：本小题主要考查函数的奇偶性、直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．