Question

复数z₁，z₂满足

3

z₁-1+（z₁-z₂）i=0且|z₁-

3

+i|=1．求z₂对应点轨迹及|z₁-z₂|的最大值．

Answer 1

考点：复数的代数表示法及其几何意义,复数求模

专题：数系的扩充和复数

分析：复数z₁，z₂满足

3

z₁-1+（z₁-z₂）i=0，可得z₁=

3 -i+( 3 i+1)z2

4

．由于|z₁-

3

+i|=1．可得|z₂-（-3i）|=1，设z₂=x+yi（x，y∈R）．可得z₂对应点轨迹为x²+（y+3）²=1．圆心为C（0，-3），半径r=1．由|z₁-

3

+i|=1．设z₁=x+yi（x，y∈R），可得(x-

3

)2+(y+1)2=1．圆心为D（

3

，-1），半径R=1，可得|z₁-z₂|的最大值为|CD|+R+r．

解答： 解：∵复数z₁，z₂满足

3

z₁-1+（z₁-z₂）i=0，
∴(

3

+i)z1=1+z₂i，
∴z₁=

(1+z2i)( 3 -i)

( 3 +i)( 3 -i)

=

3 -i+( 3 i+1)z2

4

．
∵|z₁-

3

+i|=1．
∴|

3 -i+( 3 i+1)z2

4

-(

3

-i)|=1，
化为|z₂-（-3i）|=1，
设z₂=x+yi（x，y∈R）．
∴z₂对应点轨迹为x²+（y+3）²=1．圆心为C（0，-3），半径r=1．
∵|z₁-

3

+i|=1．
设z₁=x+yi（x，y∈R），
则(x-

3

)2+(y+1)2=1．圆心为D（

3

，-1），半径R=1．
∴|CD|=

( 3 )2+(-3+1)2

=

7

，
∴|z₁-z₂|的最大值为

7

+2．

点评：本题考查了复数的运算法则及其几何意义、模的计算公式、两圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．