Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与双曲线 C₂：x²-

y2

4

=1有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C₁恰好将线段AB三等分，则椭圆C₁的离心率为 （　　）

• A．e²=

  10

  11

• B．e²=

  1

  2

• C．e²=

  9

  10

• D．e²=

  8

  9

Answer 1

分析：根据双曲线方程，确定一条渐近线为y=2x，可得AB=2a且AB为题中圆的直径．由椭圆与双曲线有公共焦点，可得a²-b²=5．设C₁与y=2x在第一象限的交点为A（m，2m），代入C₁解出m²=

a2b2

b2+4a2

．再由对称性知直线y=2x被C₁截得的弦长AB=2

5

m，根据C₁恰好将线段AB三等分解出m=

a

3 5

，联解可得a²、b²、c²的值，结合离心率的公式加以计算，可得答案．

解答：解：由题意，C₂的焦点为（±

5

，0），一条渐近线方程为y=2x，
根据对称性可知以C₁的长轴为直径的圆交y=2x于A、B两点，满足AB为圆的直径且AB=2a
∵椭圆C₁与双曲线C₂有公共的焦点，
∴C₁的半焦距c=

5

，可得a²-b²=5，…①
设C₁与y=2x在第一象限的交点的坐标为A（m，2m），
代入C₁的方程，解得m²=

a2b2

b2+4a2

，…②
由对称性可得直线y=2x被C₁截得的弦长AB=2

5

m，
结合题意得2

5

m=

2a

3

，可得m=

a

3 5

，…③
由②③联解，得a²=11b²…④
再联解①④，可得a²=5.5，b²=0.5，得c²=a²-b²=5．
∴椭圆C₁的离心率e满足e²=(

c

a

)2=

c2

a2

=

10

11

．
故选：A

点评：本题给出双曲线与椭圆共焦点，在双曲线的渐近线与椭圆长轴为直径的圆相交所得的弦AB被椭圆三等分时，求椭圆的离心率的值．着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质与直线与圆等知识，属于中档题．