Question

已知函数f(x)=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx(a≠0)，h(x)=

2(x-1)

x+1

（1）当a=-2时，函数F（x）=f（x）-g（x）在其定义域范围是增函数，求实数b的取值范围；
（2）当x＞1时，证明f（x）＞h（x）成立；
（3）记函数f（x）与g（x）的图象分别是C₁、C₂，C₁、C₂相交于不同的两点P，Q，过线段PQ的中点R作垂直于x轴的垂线，与C₁、C₂分别交于M、N，问是否存在点R，使得曲线C₁在M处的切线与曲线C₂在N处的切线平行？若存在，试求出R点的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用函数F（x）=f（x）-g（x）在其定义域范围是增函数，可得导数大于等于0，再分离参数，求最值，即可求实数b的取值范围；
（2）构造函数φ（x）=f（x）-h（x），利用导数判断单调性，即可证得结论；
（3）利用反证法，曲线C₁在M处与C₂曲线在N处的切线相互平行，则k₁=k₂，从而与（2）的结论矛盾，即可得到结论．

解答：（1）解：当a=-2时，F（x）=lnx+x²-bx，则F′(x)=

1

x

+2x-b，…（1分）
由于F（x）=lnx+x²-bx在定义域（0，+∞）上是增函数，则

1

x

+2x-b≥0，…（2分）
即b≤

1

x

+2x，…（3分）
而

1

x

+2x≥2

2

（当且仅当x=

2

2

时取等号），于是b≤2

2

，
∴实数b的取值范围是(-∞，2

2

]…（4分）
（2）证明：构造函数φ（x）=f（x）-h（x）=lnx-2+

4

x+1

（x＞1）
∵φ′（x）=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0
∴φ（x）在定义域（1，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（1）=0，∴f（x）＞h（x）成立；
（3）解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂，则有lnx1=

1

2

a

x

2 1

+bx1，lnx2=

1

2

a

x

2 2

+bx2，点R的横坐标是

x1+x2

2

，M，N的横坐标也是

x1+x2

2

，
曲线C₁在M处的切线的斜率是k1=

2

x1+x2

，…（9分）
曲线C₂在N处的切线的斜率是k2=a×

x1+x2

2

+b，…（10分）
若曲线C₁在M处与C₂曲线在N处的切线相互平行，则k₁=k₂，
∴

2

x1+x2

=a×

x1+x2

2

+b，∴

2(x2-x1)

x1+x2

=a×

x 2 2 - x 2 1

2

+b(x2-x1)，
而

2(x2-x1)

x1+x2

=

a

2

x

2 2

+bx2-(

a

2

x

2 1

+bx1)=lnx2-lnx1=ln

x2

x1

，即

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

=ln

x2

x1

，…（11分）
令t=

x2

x1

，因为0＜x₁＜x₂，∴t＞1，

2(t-1)

t+1

=lnt(t＞1)，…（12分）
这与第（2）问的结论矛盾，所以不存在点R，使得曲线C₁在M处与曲线C₂在N处的切线相互平行．…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生综合能力，属于中档题．