Question

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1(0，

2

)，离心率为e=

2

2

，点P为第一象限内横坐标为1的椭圆C上的点，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA、PB分别交椭圆C于两点A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1(0，

2

)，离心率为e=

2

2

，知c=

2

，e=

c

a

=

2

2

，由此能求出椭圆方程．
（2）由P点坐标为（1，

2

），设PA的斜率为k，那么PB的斜率为-k．其方程分别为：y=k（x-1）+

2

，y=-k（x-1）+

2

，求出直线AB的斜率为

2

．由椭圆方程为

x2

2

+

y2

4

=1．设A点坐标为（

2

cosa，2sina），直线AB方程为y-2sina=

2

（x-

2

2cosa），则P到AB的距离PD为

| 2 - 2 +2sinα-2cosα|

3

=

2

3

|sina-cosa|，AB的距离为|x₁-x₂|•

1+k2

=

3

•|x1-x2|，由此能求出△PAB面积最大值．

解答：解：（1）∵椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1(0，

2

)，离心率为e=

2

2

，
∴c=

2

，e=

c

a

=

2

2

，
∵a²=b²+（

2

）²，
解得a²=4，b²=2，
∴椭圆方程为

x2

2

+

y2

4

=1．
（2）由已知，P点坐标为（1，

2

），若PA的斜率为k，那么PB的斜率为-k．其方程分别为：
y=k（x-1）+

2

，y=-k（x-1）+

2

，
分别代入椭圆方程，得：
（k²+2）x²-（2k²-2

2

k）x+（k²-2

2

k-2）=0，
（k²+2）x²-（2k²+2

2

k）x+（k²+2

2

k-2）=0，
由于x=1是以上两个方程的解，所以将这两个方程分解因式得
（x-1）[（k²+2）x-（k²-2

2

k-2）]=0
（x-1）[（k²+2）x-（k²+2

2

k-2）]=0
所以x₁=

1

k2+2

（k²-2

2

k-2），x₂=

1

k2+2

（k²+2

2

k-2），
所以直线AB的斜率为：

y2-y1

x2-x1

=

1

x 2-x1

[-k（x₂-1）+

2

-k（x₁-1）-

2

]
=

1

x2-x1

[2-（x₁+x₂）]k
=

[2- 2(k2-2) k2+2 ]k

2•2 2 k k2+2

=

2

．
∵椭圆方程为

x2

2

+

y2

4

=1．
∴设A点坐标为（

2

cosa，2sina），直线AB方程为y-2sina=

2

（x-

2

cosa），
P到AB的距离PD为

| 2 - 2 +2sinα-2cosα|

3

=

2

3

|sina-cosa|，
AB的距离为|x₁-x₂|•

1+k2

=

3

•|x1-x2|，
把方程y-2sina=

2

（x-

2

cosa），代入椭圆方程，得
x²+

2

（sina-cosa）x-2sinacosa=0，
x₁=

2

cosa，x₂=-

2

sina，
于是△PAB的面积=

1

2

×|PD|×|AB|
=

1

2

×

3

×

2

×|sinα+cosα|×

2

3

|sina-cosa|
=

2

|sina²-cosa²|，
所以△PAB面积最大值为

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法和三角形面积人最大值的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．易错点是直线AB的斜率的求解，解题时要认真审题，仔细解答．