Question

已知直线y=k（x-3）与双曲线

x2

m

-

y2

27

=1，有如下信息：联立方程组

y=k(x-3) x2 m - y2 27 =1

消去y后得到方程Ax²+Bx+C=0，分类讨论：
（1）当A=0时，该方程恒有一解；
（2）当A≠0时，△=B²-4AC≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A、[9，+∞）
• B、（1，9]
• C、（1，2]
• D、[2，+∞）

Answer 1

分析：先根据直线方程可知直线恒过定点，根据题设条件可知直线与双曲线恒有交点，进而可判断出双曲线的右顶点在定点上或左侧进而求得m的范围，进而根据双曲线方程求得c，进而求得离心率e的表达式，根据m的范围确定e的范围．

解答：解：依题意可知直线恒过定点（3，0），根据（1）和（2）可知直线与双曲线恒有交点，
故需要定点（3，0）在双曲线的右顶点或右顶点的右边，
即

m

≤3，求得m≤9
要使方程为双曲线需m＞0
∴m的范围是0＜m≤9
c=

m+27

∴e=

c

a

=

m+27

m

m+27

m

=

1+ 27 m

∵0＜m≤9
∴

1+ 27 m

≥2
即e≥2
故选D．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合的思想和转化和化归的思想．