Question

【题目】已知椭圆 （a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．
（Ⅰ）若 ，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2 ， BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且 ，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意得 ，得 ．

结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．

所以，椭圆的方程为 ．

（Ⅱ）由 得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

所以 ，

依题意，OM⊥ON，

易知，四边形OMF2N为平行四边形，

所以AF2⊥BF2，（7分）

因为 ， ，

所以 ．

即 ，

将其整理为k2=﹣ =﹣1﹣

因为 ，所以 ，12≤a2＜18．

所以 ，即 ．

【解析】（Ⅰ）由题意得 ，得 ，由此能求出椭圆的方程．

（Ⅱ）由 得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以 ，依题意OM⊥ON知，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2，因为 ， ，所以 ．由此能求出k的取值范围．

【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．