Question

记函数f(x)的定义域为D，若存在x₀∈D，使得f(x)＝x成立，则称(x₀，x₀)为函数f(x)图象上的“稳定点”．

(1)是否存在实数a，使函数f(x)＝的图象上有且仅有两个相异的稳定点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．

(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，求证：函数必有奇数个稳定点．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：设函数f(x)＝的图象上有且仅有两个相异的稳定点， 　　则f(x)＝＝x， 　　即有两个相异的根， 　　所以 　　解之，得a＞5或a＜1，a≠－． 　　因此存在a∈(－∞，－)∪(－，1)∪(5，＋∞)使得函数f(x)＝的图象上有且仅有两个相异的稳定点; 　　(2)证明：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 　　所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0． 　　因此(0，0)是f(x)的一个稳定点． 　　假设函数还有稳定点(x0，x0)， 　　即f(x0)＝x0，则必定有f(－x0)＝－x0． 　　这说明(－x0，－x0)也是函数的稳定点． 　　综上所述，奇函数的稳定点除原点外，都是成对出现，因此其稳定点的个数是奇数．