Question

18．已知函数f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{3}$）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．
（1）求A和ω的值；
（2）求函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间；
（3）若函数g（x）=f（x）+1在区间（a，b）上恰有10个零点，求b-a的最大值．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω 的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用正弦函数的单调性求得函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间．
（3）由条件根据正弦函数的图象的零点求得b-a的最大值．

解答 解：（1）A=2，$\frac{T}{4}=\frac{π}{3}-\frac{π}{12}=\frac{2π}{4ω}$，ω=2，所以$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）$．
（2）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，求得$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{12}+kπ$．
又因为x∈[0，π]，所以函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间为$[0，\frac{π}{12}]$和$[\frac{7π}{12}，π]$．
（3）由$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）=-1$，求得$x=kπ+\frac{5π}{12}$或$x=kπ+\frac{3π}{4}（k∈Z）$，
函数f（x）在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期，
所以b-a最大值为$5T+\frac{2π}{3}=\frac{17π}{3}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，可得函数的解析式．正弦函数的单调性和零点，属于基础题．