Question

（理）已知椭圆C：（a＞0，b＞0），F₁，F₂是椭圆C的两个焦点，若点P 是椭圆上一点，满足那么|PF₂|=|F₁F₂|，且F₂到直线PF₁的距离等于椭圆的短轴长，则椭圆C的离心率为________．

Answer 1

分析：如图，点P在椭圆上，由题意知△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．作出底边上的高F₂D，可得Rt△DF₁F₂中，|DF₁|=a-c，|DF₂|=2b，|F₁F₂|=2c，利用勾股定理列式，化简整理即可得到a与c的比值，结合椭圆离心率的公式，可得椭圆C的离心率．
解答：∵点P在椭圆C上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a
又∵|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴|PF₁|=2a-2c
过点F₂作F₂D⊥PF₁于D点，则F₂到直线PF₁的距离为|DF₂|=2b，
因为|PF₂|=|F₁F₂|，可得D是PF₁的中点，所以DF₁=|PF₁|=a-c，
Rt△DF₁F₂中，|DF₁|²+|DF₂|²=|F₁F₂|²，即（a-c）²+（2b）²=（2c）²
整理得：5a²-2ac-7c²=0，即（a+c）（5a-7c）=0
∵a+c不为0，∴5a-7c=0，得c=a
因此椭圆C的离心率为e==
故答案为：
点评：本题给出椭圆上一点与椭圆两个焦点构成以焦距为一腰的等腰三角形，并且等腰三角形的高等于椭圆的短轴长，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的标准方程与基本概念，属于基础题．