Question

【题目】如图，菱形与正三角形的边长均为，它们所在平面互相垂直，平面，平面.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）推导出，，从而平面，由此能证明平面平面；

（2）取中点，连接、，过点作于点，推导出四边形为平行四边形，可得，进而可证明出平面，并推导出平面，可得出三棱锥的高为，利用锥体的体积公式可求得结果.

（1）在菱形中，，

平面，平面，，

又，平面，

而平面，平面平面；

（2）取中点，连接、，

为正三角形，，

平面平面，交线为，平面，平面，

平面，，

平面，平面平面，平面，，

四边形为平行四边形，，

过点作于点，

平面平面，平面平面，平面，

则平面，

，平面，平面，平面，

则的长为到平面的距离，

因此，三棱锥的体积为.