Question

如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2DC，F是BE的中点．求证：
（1）DF∥平面ABC；
（2）AF⊥BD．

Answer 1

分析：（1）要证DF∥平面ABC，只要证DF平行于平面ABC内的一条直线，取AB中点N，连结FN，NC，可证四边形DCNF为平行四边形，则答案得证；
（2）要证明AF⊥BD，可证明BF为BD在平面ABE上的射影，即证DF⊥面ABE，也就是证CN⊥面ABE，由线面垂直的判定得答案．

解答：证明：如图，
（1）取AB中点N，连结FN，NC，
∵F为BE的中点，∴FN为△ABE的中位线，∴FN∥NE，FN=

1

2

NE，
又AE、CD都垂直于面ABC，2CD=AE，∴AE∥CD，∴CD∥FN且CD=FN，
∴四边形CDFN为平行四边形，∴DF∥CN，又DF?面ABC，CN?面ABC，∴DF∥面ABC；
（2）∵AE=AB，F是BE的中点，在△ABC中，N是AB的中点，∴AF⊥BE，CN⊥AB，
∵AE⊥面ABC，AE?面ABE，∴面ABE⊥面ABC，又CN⊥AB，∴CN⊥面ABE，
∴DF⊥面ABE，∴DB在平面ABE的射影为BF，∴AF⊥BD．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面垂直的性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．