Question

设函数f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+a-

1

2

，当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为

1

2

．
（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（II）作出y=f（x）在x∈[0，π]上的图象．（不要求书写作图过程）

Answer 1

分析：（1）逆用正弦和余弦的二倍角公式来降幂，用辅角公式把三角函数整理成Asin（ωx+φ）的形式，得到周期和单调递减区间，最后结果要写成区间的形式．
（2）根据所给的变量的范围，得到三角函数的值域，由最大值与最小值的和为

1

2

，求出字母系数a，在坐标系中用五点法做出函数的图象，坐标系的几个元素不要忽略．

解答：解：（I）∵f(x)=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+a-

1

2

=sin(2x+

π

6

)+a，
∴T=π，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤ 

3π

2

+2kπ，
得

π

6

+kπ ≤x≤

2π

3

+kπk∈z
故函数f（x）的单调递减区间是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]k∈z．

（II）∵-

π

6

≤x≤

π

3

，
∴-

π

6

≤ 2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，
原函数的最大值与最小值的和-

1

2

+a+1+a=

1

2

，
解得a=0．
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)，图象如图．

点评：本题综合考查三角函数的变换和性质，包括周期、单调性、函数的值域、函数的图象，这是一个综合题目，也是高考必考的一种类型的题目，属于容易题，是一个送分的题．