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    对于函数f（x）定义域中任意的x1、x2（x1≠x2）有如下结论：
    ①f（x1+x2）=f（x1）f（x2）
    ②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
    ③
    f(x1)-f(x2)
    x1-x2
    ＞0
    ④f(
    x1+x2
    2
    )＜
    f(x1)+f(x2)
    2

    当f（x）=2x时，上述结论中正确结论的序号是
    ①③④
    ①③④
    ．
    分析：当f（x）=2x时，对于函数f（x）定义域中任意的x1、x2（x1≠x2）：①f（x1+x2）=2x1+x1=2x1•2x2=f（x1）f（x2）；②f（x1•x2）=2x1•x2≠2x1+2x2=f（x1）+f（x2）；③由f（x）=2x是增函数，知
    f(x1)-f(x2)
    x1-x2
    ＞0；④由x1≠x2，知
    f(x1) +f(x2)
    2
    ＞
    		f(x1)f(x 2)
    =
    		2x1•2x2
    =2
    x1+x2
    2
    =f(
    x1+x2
    2
    )    ．
    解答：解：当f（x）=2x时，对于函数f（x）定义域中任意的x1、x2（x1≠x2）：
    ①f（x1+x2）=2x1+x1=2x1•2x2=f（x1）f（x2），故①成立；
    ②f（x1•x2）=2x1•x2≠2x1+2x2=f（x1）+f（x2），故②不成立；
    ③∵f（x）=2x是增函数，∴
    f(x1)-f(x2)
    x1-x2
    ＞0，故③成立；
    ④∵x1≠x2，
    ∴
    f(x1) +f(x2)
    2
    ＞
    		f(x1)f(x 2)
    =
    		2x1•2x2
    =2
    x1+x2
    2
    =f(
    x1+x2
    2
    )    ，
    ∴f(
    x1+x2
    2
    )＜
    f(x1)+f(x2)
    2
    ，故④成立．
    故答案为：①③④．
    点评：本题考查指数函数性质的综合运用，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的合理运用．
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    x+y
    1+xy
    )    ，且当x＜0时，f（x）＞0；
    （1）验证函数f(x)=ln
    1-x
    1+x
    是否满足这些条件；
    （2）若f(
    a+b
    1+ab
    )=1，f(
    a-b
    1-ab
    )=2    ，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．
    （3）若f(-
    1
    2
    )=1    ，试解关于x的方程f(x)=-
    1
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤k（x1-x2|成立，则称函数f（x）在定义域D上满足利普希茨条件．对于函数f（x）=
    		x
    （x≥1）满足利普希茨条件，则常数k的最小值应是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•连云港二模）已知函数f（x）定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，则f（2009）=
    4018
    4018
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（
    1
    2
    ）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（
    x-y
    1-xy
    ），又数列{an}满足：a1=
    1
    2
    ，an+1=
    2an
    1+
    a
    2
    n
    ．
    （I）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
    （II）求f（an）关于n的函数解析式；
    （III）令g（n）=f（an）且数列{an}满足bn=
    1
    g(n)
    ，若对于任意n∈N+，都有b1+b2+…+bn＜t2-3t恒成立，求实数t的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2•3|x-p2|（p1，p2为实数），函数f（x）定义为：对于每个给定的x，f(x)=
    f1(x) ，f1(x)≤f2(x)
    f2(x) ，f1(x)＞f2(x)
    ．
    （1）讨论函数f1（x）的奇偶性；
    （2）解不等式：f2（x）≥6；
    （3）若f（x）=f1（x）对任意实数x都成立，求p1，p2满足的条件．

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