Question

【题目】已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有 ＞0．
（Ⅰ）证明f（x）在[﹣1，1]上是增函数；
（Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0
（Ⅲ）若f（x）≤t2﹣2at+1对x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，
则 ，
∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0，
由已知 ，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数；
（Ⅱ）∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且在[﹣1，1]上是增函数，
∴不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），
∴ ，解得 ；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）在[﹣1，1]上是增函数，
∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1，
要使f（x）≤t2﹣2at+1对x∈[﹣1，1]恒成立，只要t2﹣2at+1≥1t2﹣2at≥0，
设g（a）=t2﹣2at，对a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，
∴ ，
∴t≥2或t≤﹣2或t=0
【解析】（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则 ，由已知 ，可比较f（x1）与f（x2）的大小，由单调性的定义可作出判断；（Ⅱ）利用函数的奇偶性可把不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），在由单调性得x2﹣1＜3x﹣3，还要考虑定义域；（Ⅲ）要使f（x）≤t2﹣2at+1对x∈[﹣1，1]恒成立，只要f（x）max≤t2﹣2at+1，由f（x）在[﹣1，1]上是增函数易求f（x）max ， 再利用关于a的一次函数性质可得不等式组，保证对a∈[﹣1，1]恒成立；