Question

若f（x）=lg（x²-2ax+1+a）在区间（-∞，1]上递减，则a的取值范围为

1. A.
   [1，2）
2. B.
   [1，2]
3. C.
   [1，+∞）
4. D.
   [2，+∞）

Answer 1

A
分析：由题意，在区间（-∞，1]上，a的取值需令真数x²-2ax+1+a＞0，且函数u=x²-2ax+1+a在区间（-∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．
解答：令u=x²-2ax+1+a，则f（u）=lgu，
配方得u=x²-2ax+1+a=（x-a）² -a²+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：

由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x²-2ax+1+a在区间（-∞，1]上单调递减，
又真数x²-2ax+1+a＞0，二次函数u=x²-2ax+1+a在（-∞，1]上单调递减，
故只需当x=1时，若x²-2ax+1+a＞0，
则x∈（-∞，1]时，真数x²-2ax+1+a＞0，
代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）
故选A．
点评：本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，复合函数单调性遵从同增异减的原则．