Question

8．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，E为BD上一点，且∠ABD=38°，∠CBD=68°，∠BCE=14°，∠DCE=8°，求∠DAE的度数．

Answer 1

分析 设∠DAE=α，由已知可得CD：AD=tanα：tan8°=tan52°：tan22°，利用两角和与差的正切公式，及正切的三倍角公式，诱导公式，可得答案．

解答 解：∵△ABC中，BD⊥AC于D，E为BD上一点，且∠ABD=38°，∠CBD=68°，∠BCE=14°，∠DCE=8°，
设∠DAE=α，
则DE=tan8°•CD=tanα•AD，BD=tan（14°+8°）•CD=tan（90°-38°）•AD，
即tan8°•CD=tanα•AD，tan22°•CD=tan52°•AD，
∴CD：AD=tanα：tan8°=tan52°：tan22°，
tanα=$\frac{tan52°•tan8°}{tan22°}$=$\frac{tan（30°+22°）•tan（30°-22°）}{tan22°}$=$\frac{\frac{\frac{1}{3}-{tan}^{2}22°}{1-\frac{1}{3}{tan}^{2}22°}}{tan22°}$=$\frac{\frac{1}{3}-{tan}^{2}22°}{tan22°-\frac{1}{3}{tan}^{3}22°}$=$\frac{1}{\frac{tan22°-\frac{1}{3}{tan}^{3}22°}{\frac{1}{3}-{tan}^{2}22°}}$=$\frac{1}{\frac{3tan22°-{tan}^{3}22°}{1-3{tan}^{2}22°}}$=$\frac{1}{tan（3×22°）}$=cot66°=tan24°，
∴α=24°

点评 本题考查的知识点是两角和与差的正切公式，及正切的三倍角公式，诱导公式，本题难度较大．