Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．

（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；
（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图所示，

连接B1C交BC1于O，连接OD，

因为四边形BCC1B1是平行四边形，

所以点O为B1C的中点，

又因为D为AC的中点，

所以OD为△AB1C的中位线，

所以OD∥B1A，

又OD平面C1BD，AB1平面C1BD，

所以AB1∥平面C1BD．

（2）证明：因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，

所以BD⊥AC，

又因为AA1⊥底面ABC，

所以AA1⊥BD，

根据线面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，

又因为BD平面C1BD，

所以平面C1BD⊥平面A1ACC1

（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3 ，

∴S△BCD= ×3×3 = ，

∴ = = 6=9 ．

【解析】1、根据已知条件作辅助线：连接B1C交BC1于O，连接OD，由题意可得OD∥B1A，利用线面平行的判定定理可得证。
2、利用线面垂直的性质定理和判定定理可得证。
3、利用等体积法转化顶点和底面可求出体积。
【考点精析】利用直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．