Question

17．建造一个容积为8m³、深2m的长方体无盖水池，池底任一边长度不得小于1m，如果池底和池壁的造价分别为120元/m²和80元/m²，总造价y（元）关于底面一边x（m）的函数解析式为f（x）．
（1）求函数f（x）的解析式，并求出该函数的定义域；
（2）x取何值时，总造价最低？

Answer 1

分析 （1）通过水池的容积及深度可知水池底面面积为4m²，利用“总造价=池底造价+池壁造价”计算即得结论；
（2）利用基本不等式可知x+$\frac{4}{x}$≥4当且仅当x=2时取等号，进而计算可得结论．

解答 解：（1）依题意可知水池底面面积为$\frac{8}{2}$=4m²，
则f（x）=120×4+80×2（2x+2×$\frac{4}{x}$）
=480+320（x+$\frac{4}{x}$），
∵池底任一边长度不得小于1m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{\frac{4}{x}≥1}\end{array}\right.$，即该函数的定义域为{x|1≤x≤4}；
（2）∵x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，当且仅当x=$\frac{4}{x}$即x=2时取等号，
∴当x=2时总造价最低为480+320（2+$\frac{4}{2}$）=1760元．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于基础题．