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已知直线l过点P(0,2),斜率为k,圆Q:x2+y2-12x+32=0.
(1)若直线l和圆相切,求直线l的方程;
(2)若直线l和圆交于A、B两个不同的点,问是否存在常数k,使得
OA
+
OB
PQ
共线?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
(1)将圆的方程化简,得:(x-6)2+y2=4,圆心Q(6,0),半径r=2.
设直线l的方程为:y=kx+2,故圆心到直线l的距离d=
|6k-0+2|
1+k2
=
|6k+2|
1+k2

因为直线l和圆相切,故d=r,即
|6k+2|
1+k2
=2,解得k=0或k=-
3
4

所以,直线l的方程为y=2或3x+4y-8=0.
(2)将直线l的方程和圆的方程联立,消y得:(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0,
因为直线l和圆相交,故△=[4(k-3)]2-4×36×(1+k2)>0,解得-
3
4
<k<0.
设A(x1,y1)、B(x2,y2),则有:x1+x2=-
4(k-3)
1+k2
;x1x2=
36
1+k2

而y1+y2=kx1+2+kx2+2=k(x1+x2)+4,
OA
+
OB
=(x1+x2,y1+y2),
PQ
=(6,-2).
因为
OA
+
OB
PQ
共线,所以-2×(x1+x2)=6×(y1+y2).
即(1+3k)(x1+x2)+12=0,代入得(1+3k)[-
4(k-3)
1+k2
]+12=0,解得k=-
3
4

又因为-
3
4
<k<0,所以没有符合条件的常数k.
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+
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x+4y-4=0
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+
OB
PQ
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