(1)求第三层及第四层树形图的高度H3,H4;
(2)求第n层树形图的高度Hn;
(3)若树形图的高度大于2,则称树形图为“高大”,否则称为“矮小”.显然,当n=1,2时是“矮小”的,是否存在m∈Z,使得当n>m时,该树形图是“高大”的?
思路解析:首先转化成数学模型树(从下而上),新生的各层高度所构成的数列为{an},然后归纳出第n层树形图的高度,由定义,此树形图永远是“矮小”的.
解:(1)设题中树(从下而上)新生的各层高度所构成的数列为{an},则a1=1,a2=×,a3=,a4=×,
所以,第三层树形图的高度H3=a1+a2+a3=.
第四层树形图的高度H4=a1+a2+a3+a4=.
(2)易知=,所以第n层新生的高度为
所以当n为奇数时,第n层树形图的高度为
Hn=+=[1-()n+1]+[1-()n-1];
当n为偶数时,第n层树形图的高度为
Hn=+=[1-()n]+[1-()n].
(3)不存在.
由(2)知,当n为奇数时,Hn<{[1-()n+1]+[1-()n-1]}=+<2;
当n为偶数时,Hn<{[1-()n]+[1-()n]}=+<2,
由定义,此树形图永远是“矮小”的.所以不存在m∈Z,使得当n>m时,该树形图是“高大”的.
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