Question

曲线C是平面内与定点F（2，0）和定直线x=-2的距离的积等于4的点的轨迹．给出下列四个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于x轴对称；
③曲线C与y轴有3个交点；
④若点M在曲线C上，则|MF|的最小值为2(

2

-1)．
其中，所有正确结论的序号是

 

．

Answer 1

分析：将所求点用（x，y）直接表示出来，然后根据条件列出方程即可求出轨迹方程，然后根据方程研究性质即可，多个变量求最值时常常用消元法，然后利用函数的单调性求最值．

解答：解：设动点的坐标为（x，y），
∵曲线C是平面内与定点F（2，0）和定直线x=-2的距离的积等于4的点的轨迹，
∴

(x-2)2+y2

•|x+2|=4，
∵当x=0时，y=0，∴曲线C过坐标原点，故①正确；
∵将

(x-2)2+y2

•|x+2|=4中的y用-y代入该等式不变，
∴曲线C关于x轴对称，故②正确；
令x=0时，y=0，故曲线C与y轴只有1个交点，故③不正确；
∵

(x-2)2+y2

•|x+2|=4，
∴y²=

16 (x+2)2 -(x-2)2

≥0，解得-2

2

≤x≤2

2

，
∴若点M在曲线C上，则|MF|=

(x-2)2+y2

=

4

|x+2|

≥

4

2+2 2

=2(

2

-1)，故④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查了轨迹方程，以及曲线的性质，对称性以及最值，同时考查了求轨迹方程的常用方法，属于难题．