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在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆.如图所示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=-3于点D(-3,m).
(Ⅰ)求m2+k2的最小值;
(Ⅱ)若|OG|2=|OD|?|OE|,
(i)求证:直线l过定点;
(ii)试问点B,G能否关于x轴对称?若能,求出此时△ABG的外接圆方程;若不能,请说明理由.

【答案】分析:(Ⅰ)设y=kx+t(k>0),联立直线和椭圆方程,消去y,得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理,求出点E的坐标和OE所在直线方程,求点D的坐标,利用基本不等式即可求得m2+k2的最小值;
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知OD所在直线方程,和椭圆方程联立,求得点G的坐标,并代入若|OG|2=|OD|?|OE|,得到t=k,因此得证直线过定点;
     (ii)若点B,G关于x轴对称,写出点B的坐标,求出△ABG的外接圆的圆心坐标和半径,从而求出△ABG的外接圆方程.
解答:解:(Ⅰ)设y=kx+t(k>0),
由题意,t>0,由方程组,得(3k2+1)x2+6ktx+3t2-3=0,
由题意△>0,
所以3k2+1>t2,设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=-,所以y1+y2=
∵线段AB的中点为E,∴xE=,yE=
此时kOE==-
所以OE所在直线方程为y=-x,
又由题设知D(-3,m).
令x=-3,得m=,即mk=1,
所以m2+k2≥2mk=2,
(Ⅱ)(i)证明:由(Ⅰ)知OD所在直线方程为y=-x,
将其代入椭圆C的方程,并由k>0,解得G(-),
又E(),D(-3,),
由距离公式和t>0,得
|OG|2=(-2+(2=
|OD|=
|OE|==
由|OG|2=|OD|?|OE|,
得t=k,
因此直线l的方程为y=k(x+1),
所以直线l恒过定点(-1,0);
(ii)由(i)得G(-),
若点B,G关于x轴对称,则B(-,-),
将点B坐标代入y=k(x+1),
整理得
即6k4-7k2+1=0,解得k2=或k2=1,
验证知k2=时,不成立,故舍去
所以k2=1,又k>0,故k=1,
此时B(-,-),G(-)关于x轴对称,
又由(I)得x1=0,y1=1,所以点A(0,1),
由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上,可设△ABG的外接圆的圆心为(d,0),
因此d2+1=(d+2+,解得d=-
故△ABG的外接圆的半径为r==
所以△ABG的外接圆方程为
点评:此题是个难题.本题考查了椭圆的定义、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力.其中问题(III)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力,
练习册系列答案
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在平面直角坐标系xoy中,已知圆心在直线y=x+4上,半径为2
2
的圆C经过坐标原点O,椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
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3
5
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12
13
,则sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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x2
m
+
y2
3
=1
的离心率为
1
2
,则m的值为
4
4

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3t
,0)
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F1(-1,0),且椭圆C的离心率e=
1
2

(1)求椭圆C的方程;
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(3)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=2与圆O:x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.

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