Question

19．如图1所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD（如图2）
（1）求证：平面ADC⊥平面ABC；
（2）求三棱锥D-ABC的高．

Answer 1

分析 （1）由题意推出CD⊥AB，AD⊥AB，推出AB⊥平面ADC，可得平面ABC⊥平面ADC；
（2）利用等体积，求三棱锥D-ABC的高．

解答 （1）证明：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°
∴BD⊥CD
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD
故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB
故AB⊥平面ADC，AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC．
（2）解：设三棱锥D-ABC的高为h，
则由题意，△ABD中，AB=1，BC=2，AC=$\sqrt{3}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$h，
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即三棱锥D-ABC的高为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查等体积方法的运用，考查逻辑思维能力，是中档题．