Question

11．（1）在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．
（2）在△ABC中，若S_△ABC=$\frac{1}{4}$ （a²+b²-c²），那么角∠C=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求得A=15°，利用两角差的正弦公式求得sin15°，利用正弦定理即可求得a的值；
（2）由三角形的面积公式，求得sinC=cosC，即可求得C的值．

解答 解：（1）在△ABC中，A=180°-（B+C）=15°，
sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，则a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∴a的值为$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$；
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{4}$（a²+b²-c²）=$\frac{1}{2}$absinc，即sinc=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
又根据余弦定理cosc=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴sinC=cosC，
∴C=$\frac{π}{2}$-C，即C=$\frac{π}{4}$，
∴C=$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查正弦定理的应用，考查两角和正弦公式，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．