Question

16．已知P点在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，O为坐标原点，点A、B、F₁分别为椭圆的右顶点、上顶点、左焦点，且PF₁⊥x轴，AB∥OP，|AF₁|=$\sqrt{2}$+1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，求△PMN面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可将x=-c代入椭圆方程可得P的坐标，运用两直线平行的条件：斜率相等，可得b=c，再由条件结合a，b，c的关系，可得a，b的值，进而得到椭圆方程；
（2）讨论直线l的斜率存在，设直线l：y=kx，代入椭圆方程，求得M，N的长，运用点到直线的距离公式，可得P到MN的距离，求得△PMN的面积S，运用基本不等式可得S的范围；讨论直线的斜率不存在，可得面积为1．进而得到所求面积的范围．

解答 解：（1）由PF₁⊥x轴，可将x=-c代入椭圆方程可得，
y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，即有P（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由AB∥OP，A（a，0），B（0，b），
可得k_AB=k_OP，即有-$\frac{b}{a}$=-$\frac{{b}^{2}}{ac}$，化为b=c；
|AF₁|=$\sqrt{2}$+1，即为a+c=1+$\sqrt{2}$，
又a²-b²=c²，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$可得x²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，y²=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
|MN|=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{2+2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}$．
P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直线l的距离为d=$\frac{|k+\frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则△PMN的面积为S=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{\frac{2+2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}$•$\frac{|k+\frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}}$，
若k=0，则S=1；
若k≠0，则S=$\sqrt{1+\frac{2\sqrt{2}}{2k+\frac{1}{k}}}$，又2k+$\frac{1}{k}$≥2$\sqrt{2}$或2k+$\frac{1}{k}$≤-2$\sqrt{2}$，
则0≤1+$\frac{2\sqrt{2}}{2k+\frac{1}{k}}$＜1或1＜1+$\frac{2\sqrt{2}}{2k+\frac{1}{k}}$≤2．
则0＜S≤$\sqrt{2}$．
当直线l与x轴垂直时，S=$\frac{1}{2}$×2×1=1．
综上可得，△PMN面积的取值范围是（0，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用两直线平行的条件：斜率相等，考查三角形的面积的最值的求法，注意联立直线和椭圆方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，考查基本不等式的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．