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16.已知P点在椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)上,O为坐标原点,点A、B、F1分别为椭圆的右顶点、上顶点、左焦点,且PF1⊥x轴,AB∥OP,|AF1|=$\sqrt{2}$+1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过原点O的直线l与椭圆C交于M,N两点,求△PMN面积的取值范围.

分析 (1)可将x=-c代入椭圆方程可得P的坐标,运用两直线平行的条件:斜率相等,可得b=c,再由条件结合a,b,c的关系,可得a,b的值,进而得到椭圆方程;
(2)讨论直线l的斜率存在,设直线l:y=kx,代入椭圆方程,求得M,N的长,运用点到直线的距离公式,可得P到MN的距离,求得△PMN的面积S,运用基本不等式可得S的范围;讨论直线的斜率不存在,可得面积为1.进而得到所求面积的范围.

解答 解:(1)由PF1⊥x轴,可将x=-c代入椭圆方程可得,
y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$,即有P(-c,$\frac{{b}^{2}}{a}$),
由AB∥OP,A(a,0),B(0,b),
可得kAB=kOP,即有-$\frac{b}{a}$=-$\frac{{b}^{2}}{ac}$,化为b=c;
|AF1|=$\sqrt{2}$+1,即为a+c=1+$\sqrt{2}$,
又a2-b2=c2,解得a=$\sqrt{2}$,b=1,
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1;
(2)当直线l与x轴不垂直时,设直线l:y=kx,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$可得x2=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$,y2=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$,
|MN|=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{2+2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}$.
P(-1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)到直线l的距离为d=$\frac{|k+\frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,
则△PMN的面积为S=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{\frac{2+2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}$•$\frac{|k+\frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}}$,
若k=0,则S=1;
若k≠0,则S=$\sqrt{1+\frac{2\sqrt{2}}{2k+\frac{1}{k}}}$,又2k+$\frac{1}{k}$≥2$\sqrt{2}$或2k+$\frac{1}{k}$≤-2$\sqrt{2}$,
则0≤1+$\frac{2\sqrt{2}}{2k+\frac{1}{k}}$<1或1<1+$\frac{2\sqrt{2}}{2k+\frac{1}{k}}$≤2.
则0<S≤$\sqrt{2}$.
当直线l与x轴垂直时,S=$\frac{1}{2}$×2×1=1.
综上可得,△PMN面积的取值范围是(0,$\sqrt{2}$].

点评 本题考查椭圆的方程的求法,注意运用两直线平行的条件:斜率相等,考查三角形的面积的最值的求法,注意联立直线和椭圆方程,运用两点的距离公式和点到直线的距离公式,考查基本不等式的运用,化简整理的运算能力,属于中档题.

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