Question

已知函数f（x）=alnx+

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x²-（1+a）x，若f（x）≥0在定义域内恒成立，求a．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由于f（1）=-

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-a，当a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．当a≤0时，利用导数求得f（x）在区间（0，+∞）上取得最小值为
f（1）=-

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-a，由最小值大于等于0求得a的取值范围．

解答： 解：由f（x）=alnx+

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x²-（1+a）x，得f（1）=-

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-a，
当a＞0时，f（1）＜0，
此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．
当a≤0时，f′（x）=

a

x

+x-（1+a），x＞0，
若0＜x＜1，则f′（x）＜0，
故函数f（x）的单调减区间是（0，1）；
若x＞1，则f′（x）＞0，故函数f（x）的增区间是（1，+∞）．
∴f（x）在区间（0，+∞）上的极小值，也是最小值为f（1）=-

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-a，
由f（1）≥0，解得a≤-

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，
故实数a的取值范围是（-∞，-

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]．

点评：本题考查不等式恒成立问题，考查了利用导数研究函数的单调性，注意导数的性质和分类讨论思想的灵活运用，是中档题．