【题目】已知向量
,
,存在非零实数
和
，使得向量
，
，且
．问
是否存在最小值？若存在，求其最小值；若不存在，说明理由.
【答案】存在最小值，最小值
.
【解析】试题分析：根据向量数量积的坐标公式和性质，分别求出|
|=2，|
|=1且=0，由此将
=0化简整理得到k=
（t3﹣3t）．将此代入
，可得关于t的二次函数，根据二次函数的单调性即可得到的最小值．
试题解析：由已知得, 
，
，
．由
得, 
，
即
，
所以
，
，
所以
，
所以当
时, 
有最小值
.
点晴：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求得，所以 ，所以当时, 
有最小值.
53随堂测系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB中点，F为正方形BCC1B1的中心．
（1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值；
（2）求异面直线A1C与EF所成角的余弦值．
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【题目】已知椭圆
， 
是坐标原点， 
分别为其左右焦点， 
, 
是椭圆上一点， 
的最大值为
（Ⅰ）求椭圆
的方程;
（Ⅱ）若直线
与椭圆
交于
两点，且
（i）求证： 
为定值;
（ii）求
面积的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若
=
,
=48，则抛物线的方程为（ ）
A.y2=4x
B.y2=8x
C.y2=16x
D.y2=4
X
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【题目】已知椭圆
经过点
，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若圆
的任意一条切线
与椭圆E相交于P，Q两点，试问： 
是否为定值？ 若是，求这个定值；若不是，说明理由.
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【题目】已知a为实数，p：点M（1，1）在圆（x+a）2+（y﹣a）2=4的内部； q：x∈R，都有x2+ax+1≥0．
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若q为假命题，求a的取值范围；
（3）若“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题，求a的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数f（x）=2
sin（ax﹣
）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣
）（a＞0），且函数的最小正周期为
．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】求下列曲线的标准方程：
（1）与椭圆
+
=1有相同的焦点，直线y=
x为一条渐近线．求双曲线C的方程．
（2）焦点在直线3x﹣4y﹣12=0 的抛物线的标准方程．
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