Question

商场销售的某种饮品每件售价为36元，成本为20元.对该饮品进行促销：顾客每购买一件，当即连续转动三次如图所示转盘，每次停止后指针向一个数字，若三次指向同一个数字，获一等奖；若三次指向的数字是连号（不考虑顺序），获二等奖；其他情况无奖.
（1）求一顾客一次购买两件该饮品，至少有一件获得奖励的概率；
（2）若奖励为返还现金，一等奖奖金数是二等奖的2倍，统计表明：每天的销售y（件）与一等奖的奖金额x（元）的关系式为，问x设定为多少最佳？并说明理由.

Answer 1

（1）；（2）x设定为48（元）为最佳.

试题分析：本题主要考查随机事件的概率、离散型随机变量的数学期望、配方法求函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问，先利用活动法则分2种情况分别求出一顾客购买一件饮品获得一等奖和二等奖的概率，2个结果相加得到一顾客购买一件饮品获奖的概率，用间接法在所有概率中去掉2件都没有获奖的概率即可；第二问，先求顾客购买一件饮品所得的奖金额的数学期望，用每件售价-每件的成本-发放的奖金额=每件所得利润，再用这个结果乘以一天卖出的总件数得一天的总利润，再用配方法求函数最值.
（1）记事件：“一顾客购买一件饮品获得i等奖”为A_i，i＝1，2，则
P(A₁)，P(A₂)＝，
则一顾客一次购买一件饮品获得奖励的概率为
P(A₁＋A₂)＝P(A₁)＋P(A₂)＝．        4分
故一顾客一次购买两件饮品，至少有一件获得奖励的概率
p＝1－(1－)²＝．          6分
（2）设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为X元，则X的可能取值为x，，0．
由（1）得P(X＝x)＝，P(X＝)＝，E(x)＝＋＝．  9分
该商场每天销售这种饮品所得平均利润
Y＝y[(36－20)－E(x)]＝(＋24)(16－)＝－ (x－48)²＋432．
当x＝48时，Y最大．故x设定为48（元）为最佳．    12分