Question

把正整数排列成如图所示的数阵．
（Ⅰ）求数阵中前10行所有的数的个数；
（Ⅱ）求第n行最左边的数；
（Ⅲ）2007位于数阵的第几行的第几个数（从左往右数）．

Answer 1

解：（Ⅰ）数阵的第n行有n个数，所以前10行的数的个数有：
1+2+3+…+10=55．
（Ⅱ）前n行所有个数为：1+2+3+…+n=
所以，第n行最右边的数为 ．
第n行最左边的数为n（n+1）-（n-1）=n²-n+1，
（Ⅲ）又n=63时，第63行最左边的数为：×63×62+1=1954，
第63行最右边的数为：×64×63=2016，
所以2007位于第63行，
又因为2007-1954=53，
故2007位于第63行的第54位．
分析：（Ⅰ）数阵的第n行有n个数，所以前10行的数的个数有：1+2+3+…+10=55；
（Ⅱ）求得第n行最右边的数为n（n+1），则第n行最左边的数为为n（n+1）-（n-1）；
（Ⅲ）由1+2+3+…+63=1954，1+2+3+…+64=2016．可得2007位于数阵的第63行，而2007-1954=53，可得第第54位．
点评：本题考查数列的应用，着重考查等差数列的求和公式的应用，突出考查观察问题、分析问题、解决问题的能力，考查学生数学的思维品质，属于难题．