Question

已知函数在区间[－1，1)，(1，3]内各有一个极值点．

(Ⅰ)求a²－4b的最大值；

(Ⅱ)当a²－4b＝8时，设函数y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线为l，若在点A处穿过y＝f(x)的图象(即动点在点A附近沿曲线y＝f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧)，求函数f(x)的表达式．

Answer 1

答案：
解析：

(I)因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根， 　　设两实根为()，则，且．于是 　　，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16． 　　(II)解法一：由知在点处的切线的方程是 　　，即， 　　因为切线在点处空过的图象， 　　所以在两边附近的函数值异号，则 　　不是的极值点． 　　而，且 　　． 　　若，则和都是的极值点． 　　所以，即，又由，得，故． 　　解法二：同解法一得 　　． 　　因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在()． 　　当时，，当时，； 　　或当时，，当时，． 　　设，则 　　当时，，当时，； 　　或当时，，当时，． 　　由知是的一个极值点，则， 　　所以，又由，得，故．