Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=

1

3

，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A₁D₁的距离与点P到点M的距离的平方差为1，那么动点P的轨迹可能是以下

⑤

曲线．（填写序号）①直线；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤抛物线．

Answer 1

分析：作PQ⊥AD，作QR⊥D₁A₁，PR即为点P到直线A₁D₁的距离，由勾股定理得 PR²-PQ²=RQ²=1，结合PR²-PM²=1，可得PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，由此可得结论．

解答：解：如图所示：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁  中，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD₁A₁，过点Q作QR⊥D₁A₁，则D₁A₁⊥面PQR，PR即为点P到直线A₁D₁的距离．
由题意可得PR²-PQ²=RQ²=1．
又已知PR²-PM²=1，∴PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，
根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，
故答案为：⑤

点评：本题考查抛物线的定义，考查立体几何中的轨迹问题，得到PM=PQ是解题的关键．