Question

已知椭圆方程为

x2

4b2

+

y2

b2

=1，直线y=-x-1与椭圆交于A，B，且OA⊥OB，求椭圆方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立直线与椭圆的方程，结合直线与椭圆有两个交点，且OA⊥OB，结合一元二次方程根的个数与△的关系及向量垂直的充要条件、韦达定理，求出b的值，可得椭圆方程．

解答： 解：由

x2 4b2 + y2 b2 =1 y=-x-1

得：5x²+8x+4（1-b²）=0
由△=8²-4×5×4（1-b²）＞0，整理得b²＞

1

5

，
设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-

8

5

，x₁•x₂=

4(1-b2)

5

，
∴y₁•y₂=（-x₁-1）（-x₂-1）=x₁•x₂+（x₁+x₂）+1，
∵OA⊥OB，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=2x₁•x₂+（x₁+x₂）+1=2×

4(1-b2)

5

-

8

5

+1=0，即b²=

5

8

＞

1

5

．
∴椭圆的方程为

x2

5 2

+

y2

5 8

=1．

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，是高考的压轴题型，综合能力强，运算量大，属于难题．