Question

16．若一个三角形具有以下两个性质：（1）三边是连续的三个自然数；（2）最大角是最小角的2倍．则这个三角形的最大边所对角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{7}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． -$\frac{1}{8}$
• D． -$\frac{1}{7}$

Answer 1

分析 设三角形的三边分别为n-1，n，n+1，对应的角分别为A、B、C，由题意和正弦定理可得cosA=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，再由由余弦定理可得cosA=$\frac{n+4}{2（n+1）}$，可得$\frac{n+1}{2（n-1）}$=$\frac{n+4}{2（n+1）}$，解方程可得a值，可得三边长，由余弦定理可得．

解答 解：设三角形的三边分别为n-1，n，n+1，对应的角分别为A、B、C，
则A＜B＜C，由题意可得C=2A，
由正弦定理可得$\frac{n-1}{sinA}$=$\frac{n+1}{sinC}$=$\frac{n+1}{2sinAcosA}$，∴cosA=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
又由余弦定理可得cosA=$\frac{{n}^{2}+（n+1）^{2}-（n-1）^{2}}{2n（n+1）}$=$\frac{n+4}{2（n+1）}$，
∴$\frac{n+1}{2（n-1）}$=$\frac{n+4}{2（n+1）}$，化简可得n²-5n=0解得n=5
∴三角形的三边分别为4，5，6，
∴三角形的最大边所对角的余弦值cosC=$\frac{{4}^{2}+{5}^{2}-{6}^{2}}{2×4×5}$=$\frac{1}{8}$
故选：B．

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角形的边角关系，属中档题．