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15.如图,矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直,等腰梯形ABEF中,AB∥EF,AB=2AF=2AD,∠BAF=60°.
(1)求证:平面ADF⊥平面ABEF.
(2)求直线CF与平面ADF所成角.

分析 (1)根据面面垂直的判定定理证明AD⊥平面ABEF即可.
(2)建立空间坐标系,求出平面ADF的法向量,利用向量法结合线面角的关系进行求解即可.

解答 证明:(1)∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直,且AD⊥AB,
∴AD⊥平面ABEF.
∵AD?平面ADF,
∴平面ADF⊥平面ABEF.
(2)过B作AB的垂线By,
∵BC⊥平面ABEF.
∴建立以B为坐标原点,BA,By,BC分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:
等腰梯形ABEF中,AB∥EF,AB=2AF=2AD,∠BAF=60°,
则设AD=2,则AF=2,AB=4,
则AF'=BE'=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}×2$=1,EE'=FF'=$\sqrt{3}$,EF=E'F'=4-1-1=2,
则A(4,0,0),D(4,0,2),F(3,$\sqrt{3}$,0),C(0,0,2),
则$\overrightarrow{AD}$=(0,0,2),$\overrightarrow{AF}$=(-1,$\sqrt{3}$,0),
设平面ADF的法向量为$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
则由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AD}$=2z=0,$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AF}$=-x+$\sqrt{3}$y=0,
令y=1,则x=$\sqrt{3}$,z=0,
即$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{3}$,1,0),$\overrightarrow{CF}$=(3,$\sqrt{3}$,-2),
设直线CF与平面ADF所成角为θ,
则sinθ=|cos<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{CF}$>|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{CF}|}$|=$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}•\sqrt{9+3+4}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2×4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
则θ=$\frac{π}{3}$,
即直线CF与平面ADF所成角为$\frac{π}{3}$.

点评 本题主要考查面面垂直的判定以及线面角的求解,根据相应的判定定理以及建立空间坐标系,求出平面的法向量,转化为利用向量进行求解是解决本题的关键.考查学生的转化和运算能力.

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