Question

1．已知$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的$\sqrt{3}$倍，原点到直线A（a，0），B（0，-b）的距离是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）求实数m，使直线y=x+m交椭圆于不同的点C，D，并且以CD为直径的圆经过B点．

Answer 1

分析 （1）原点到直线A（a，0），B（0，-b）的距离是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的$\sqrt{3}$倍，可得a=$\sqrt{3}b$，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）假设CD为直径的圆经过B点．设点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），将直线l的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，可求出满足条件的m值．

解答 解：（1）直线A（a，0），B（0，-b）的方程为bx-ay-ab=0，
∵原点到直线A（a，0），B（0，-b）的距离是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的$\sqrt{3}$倍，
∴a=$\sqrt{3}b$，
∴b=1，a=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1；
（2）设点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
将直线l的方程y=x+m代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，
并整理，得4x²+6mx+3m²-3=0．（*）
则x₁+x₂=-$\frac{3m}{2}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{4}$．
因为以CD为直径的圆经过B点，
所以$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，即（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=0，
所以2x₁x₂+（m+1）（x₁+x₂）+1+m²=0，
于是2×$\frac{3{m}^{2}-3}{4}$+（m+1）（-$\frac{3m}{2}$）+1+m²=0，
解得m=$\frac{3±\sqrt{17}}{2}$，
经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．
所以当m=$\frac{3±\sqrt{17}}{2}$时，以CD为直径的圆经过B点．

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，向量垂直的充要条件，难度中档．