Question

已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA、EB，切点为A、B．直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1，可得：动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离与到直线l'：y=-1的距离相等．利用抛物线的定义可知：点P的轨迹是抛物线．
（II）设E（a，-2），设切线的切点为(x0，

x 2 0

4

)．由x²=4y得y=

x2

4

，利用导数可得y′=

x

2

，利用向量计算公式即可得出

x0

2

=

x 2 0 4 +2

x0-a

．解出x₀，即可得出切点A，B，进而得到切线方程．

解答：解：（Ⅰ）∵动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1，
∴动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离与到直线l'：y=-1的距离相等．
∴曲线C是以F（0，1）为焦点，y=-1为准线的抛物线，
∴曲线C的方程的方程是：x²=4y．
（Ⅱ）设E（a，-2），设切线的切点为(x0，

x 2 0

4

)．
由x²=4y得y=

x2

4

，∴y′=

x

2

，∴

x0

2

=

x 2 0 4 +2

x0-a

．
解得：x0=a±

a2+8

，
∴A(a+

a2+8

，

(a+ a2+8 )2

4

)，B(a-

a2+8

，

(a- a2+8 )2

4

)．
化简直线AB方程得：y-2=

a

2

x，
∴直线AB必过定点（0，2）．

点评：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线相切的性质、导数的几何意义等基础知识与基本方法，属于中档题．