Question

已知椭圆的顶点与双曲线

y2

4

-

x2

12

=1的焦点重合，它们的离心率之和为

13

5

，若椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析：先求出双曲线的焦点及离心率，根据已知条件求出椭圆的离心率及焦距，利用椭圆的三个参数的关系，求出椭圆中的三个参数，求出椭圆的方程．

解答：解：设所求椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
其离心率为e，焦距为2c，
双曲线

y2

4

-

x2

12

=1的焦距为2c₁，离心率为e₁，（2分）
则有：c₁²=4+12=16，c₁=4                                      （4分）
∴e1=

c1

2

=2（6分）
∴e=

13

5

-2=

3

5

，
即

c

a

=

3

5

①（8分）
又b=c₁=4    ②（9分）
a²=b²+c²③（10分）
由①、②、③可得a²=25
∴所求椭圆方程为

x2

25

+

y2

16

=1（12分）

点评：本题考查椭圆双曲线的标准方程，以及简单性质的应用，用待定系数法求出椭圆标准方程是解题的关键．