Question

【注意：本题的要求是，参照标①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成(Ⅰ)证明的全过程；并解答(Ⅱ)．】

如图：在正三棱柱ABC－A₁ B₁ C₁中，AB==a，E，F分别是BB₁，CC₁上的点且BE=a，CF=2a．

(Ⅰ)求证：面AEF⊥面ACF；

(Ⅱ)求三棱锥A₁－AEF的体积．

(Ⅰ)证明：

①∵ BE=a，CF=2a，BE∥CF，延长FE与CB延长线交于D，连结AD．

∴ △DBE∽△DCF

∴

②_____________________

∴ DB=AB．

③______________________

∴ DA⊥AC

④_______________________

∴ FA⊥AD

⑤_________________________

∴ 面AEF⊥面ACF．

 

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)②∵BE:CF=1:2 ∴   DC=2BD， ∴   DB=BC， ③∵△ABD是等腰三角形， 且∠ABD=120º， ∴∠BAD=30º， ∴∠CAD=90º， ④∵FC⊥面ACD，　 ∴CA是FA在面ACD上射影， 且CA⊥AD， ⑤∵FA∩AC=A， DA⊥面ACF，DA面ADF ⑥∴面ADF⊥面ACF． (Ⅱ)解： ∵ ． 在面A1B1C1内作B1G⊥A1C1，垂足为G． B1G= 面A1B1C1⊥面A1 C ∵ B1G⊥面A1 C， ∵ E∈B B1，而B B1∥面A1 C， ∴ 三棱柱E－AA1F的高为 =AA1·= ∴