Question

（2012•重庆）设数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=a₂S_n+a₁，其中a₂≠0．
（I）求证：{a_n}是首项为1的等比数列；
（II）若a₂＞-1，求证Sn=

n

2

(a1+an)，并给出等号成立的充要条件．

Answer 1

分析：（I）根据S_n+1=a₂S_n+a₁，再写一式，两式相减，即可证得{a_n}是首项为1的等比数列；
（II）当n=1或2时，Sn=

n

2

(a1+an)等号成立，设n≥3，a₂＞-1，且a₂≠0，由（I）知a₁=1，an=a2n-1，所以要证的不等式可化为1+a2+… +a2n-1≤

n

2

(1+a2n-1)（n≥3），即证1+a2+… +a2n≤

n+1

2

(1+a2n)（n≥2），a₂=1时，等号成立；再证明a₂＞-1且a₂≠1时，（a2n-1）（a2n-1-1）＞0，即可证得结论．

解答：证明：（I）∵S_n+1=a₂S_n+a₁，①
∴S_n+2=a₂S_n+1+a₁，②
②-①可得：a_n+2=a₂a_n+1
∵a₂≠0，∴

an+2

an+1

=a2
∵S_n+1=a₂S_n+a₁，∴S₂=a₂S₁+a₁，∴a₂=a₂a₁
∵a₂≠0，∴a₁=1
∴{a_n}是首项为1的等比数列；
（II）当n=1或2时，Sn=

n

2

(a1+an)等号成立
设n≥3，a₂＞-1，且a₂≠0，由（I）知a₁=1，an=

a

n-1 2

，所以要证的不等式可化为
1+a2+… +a2n-1≤

n

2

(1+a2n-1)（n≥3）
即证1+a2+… +a2n≤

n+1

2

(1+a2n)（n≥2）
a₂=1时，等号成立
当-1＜a₂＜1时，a2n-1与a2n-1-1同为负；
当a₂＞1时，a2n-1与a2n-1-1同为正；
∴a₂＞-1且a₂≠1时，（a2n-1）（a2n-1-1）＞0，即a2n+a2n-1＜ 1+a2n
上面不等式n分别取1，2，…，n累加可得2(a2+… +a2n-1)＜(n-1)(1+a2n)
∴1+a2+… +a2n≤

n+1

2

(1+a2n)
综上，Sn≤

n

2

(a1+an)，等号成立的充要条件是n=1或2或a₂=1．

点评：本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，考查叠加法的运用，需要一定的基本功，属于中档题．