Question

【题目】已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有 ＞0．
（Ⅰ）证明f（x）在[﹣1，1]上是增函数；
（Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0
（Ⅲ）若f（x）≤t2﹣2at+1对x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，

则 ，

∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0，

由已知 ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数；

（Ⅱ）∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且在[﹣1，1]上是增函数，

∴不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），

∴ ，解得 ；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）在[﹣1，1]上是增函数，

∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1，

要使f（x）≤t2﹣2at+1对x∈[﹣1，1]恒成立，只要t2﹣2at+1≥1t2﹣2at≥0，

设g（a）=t2﹣2at，对a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，

∴ ，

∴t≥2或t≤﹣2或t=0．

【解析】本题考查的是奇函数和增减性相结合的问题，用定义去证明函数的单调性。一元二次函数在指定区间内的最值问题，对称轴在指定区间内就能取到函数的最值，如果不在根据单调性去解决。