Question

（2012•海淀区二模）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=

π

3

，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC．
（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB；
（Ⅲ）设二面角M-BP-C的大小为θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明OE∥平面PAC、OM∥平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面MOE∥平面PAC；
（Ⅱ）证明BC⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，可得平面PAC⊥平面PCB；
（Ⅲ）求出S_△PBC、S_△PMB，利用面积比，即可求出二面角M-BP-C的大小．

解答：（Ⅰ）证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA      
因为PA?平面PAC，OE?平面PAC，所以OE∥平面PAC．
因为OM∥AC，因为AC?平面PAC，OM?平面PAC，所以OM∥平面PAC．
因为OE∩OM=O，所以平面MOE∥平面PAC；
（Ⅱ）证明：因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，
因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以BC⊥AC
因为PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC
因为BC?平面PCB，所以平面PAC⊥平面PCB；
（Ⅲ）解：∵∠CBA=

π

3

，PA=AB=2，∴BC=1，AC=

3

，PC=

7

，
∵BC⊥PC，∴S_△PBC=

1

2

×1×

7

=

7

2

由AM²=1+1-2×1×1×cos30°=2-

3

，∴PM²=6-

3

，∴BM²=2+

3

，
∴S_△PMB=

1

2

9+4 3

∵二面角M-BP-C的大小为θ，
∴利用面积射影定理可得cosθ=

7 2

1 2 9+4 3

=

7

9+4 3

．

点评：本题考查面面平行，考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面平行、面面垂直的判定方法，属于中档题．