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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为 分别为椭圆的上顶点和右焦点, 的面积为,直线与椭圆交于另一个点,线段的中点为.

(1)求直线的斜率;

(2)设平行于的直线与椭圆交于不同的两点 ,且与直线交于点,求证:存在常数,使得.

【答案】(1) (2) 存在常数

【解析】试题分析:(1)由题意得到椭圆的方程为. 直线的方程为,联立消去,从而得线段的中点 ,进而得到直线的斜率;(2) 设直线的方程为. 联立方程得到同理得到

存在常数,使得.

试题解析:

(1)因为椭圆的离心率为,所以,即

所以 ,所以,所以,所以椭圆的方程为.

直线的方程为,联立消去,所以

所以,从而得线段的中点.

所以直线的斜率为.

(2)由(1)知,直线的方程为,直线的斜率为,设直线的方程为.

联立所以点的坐标为.

所以 .

所以.

联立消去

由已知得,又,得.

,则

.

所以

.

所以.所以存在常数,使得.

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附:.

,则.

.

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