Question

若0＜x＜

π

2

，则2x与3sinx的大小关系（　　）

• A、2x＞3sinx
• B、2x＜3sinx
• C、2x=3sinx
• D、与x的取值有关

Answer 1

分析：用将不等式问题转化为函数问题，令f（x）=2x-3sinx，用导数法判断即可．

解答：解：令g（x）=2x-3sinx，g′（x）=2-3cosx，
当0＜x＜arccos

2

3

 时，g′（x）＜0，g（x）单调减，g（x）＜g（0）=0，2x＜3sinx．
当arccos

2

3

＜x＜

π

2

时，g'（x）＞0，g（x）单调增加，
但是g（arccos

2

3

）＜0，g（

π

2

）＞0，
所以在区间[arccos

2

3

，

π

2

）有且仅有一点θ使g（θ）=0．
当arccos

2

3

≤x＜θ时，g（x）＜g（θ）=0，2x＜3sinx．
当θ＜x＜

π

2

时，g（x）＞g（θ）=0，2x＞3sinx．
所以当 0＜x＜θ 时，2x＜3sinx；
当 x=θ 时，2x=3sinx；
当 θ＜x＜

π

2

时，2x＞3sinx．
故选D．

点评：本题主要考查用函数法来解不等式问题，不等式往往与函数的单调性有关，所以可用单调性定义或导数来解决．